در مورد گزینه های باینری مانع در مدل بازار مالی تلگراف مانند

مقاله به مطالعه مدل بازار بر اساس فرآیندهای پرش-تلگراف ادامه می دهد. فرض بر این است که قیمت یک دارایی پرریسک از نمایی تصادفی یک فرآیند خطی تکه‌ای پیروی می‌کند، مجهز به جهش‌هایی که در لحظه‌های تغییر الگو رخ می‌دهد. در این مورد، فرمول استاندارد قیمت گذاری گزینه قبلا مشتق شده بود، در حالی که گزینه های عجیب و غریب برای این مدل هنوز بررسی نشده است. در این چارچوب، ما در حال توسعه روش هایی برای قیمت گذاری گزینه های مانع باینری هستیم. این مقاله به گزینه مانع باینری «پول نقد (در زمان ضربه) یا هیچ» مربوط می شود. ابزار اصلی این تحلیل روش‌هایی هستند که برای احتمالات گذر اول ایجاد شده‌اند. برخی از نتایج شناخته شده مربوط به احتمالات خرابی مستقیماً از این تنظیمات حاصل می شود.

1. مقدمه

رویکرد تصادفی برای مدل‌سازی طبیعت و جامعه برای درک جهان بسیار رایج و مفید است. به طور کلی، انواع مختلفی از فرآیندهای وینر/لوی برای این اهداف مورد استفاده قرار می‌گیرند که، به طور کلی تشخیص داده می‌شود که دارای تعدادی اشکالات جدی است. در میان چیزهای دیگر، این مدل‌ها با سرعت انتشار نامتناهی مشخص می‌شوند، که با ایده ساده‌لوحانه پذیرفته شده در تضاد است. یکی دیگر از معایب تکینگی و تنوع نامحدود مسیرها است. در این مقاله، هدف ما توسعه یک روش ریاضی و به کارگیری چنین پیشرفت هایی است که از این کاستی ها جلوگیری کند. رویکرد ما مبتنی بر فرآیندهای به اصطلاح تلگراف است.

در تنظیمات سنتی [1،2]، فرآیند تلگراف موقعیت X (t) را در زمان t، t ≥ 0، یک ذره را توصیف می کند، که روی خط با سرعت های ثابت 1± و متناوب در دوره های زمانی تصادفی یک ذره حرکت می کند. فرآیند پواسون اساسییعنی X (t ) = ξ ∫ 0 t ( - 1 ) N ( s ) d s , که ξ = ± 1/2 جهت اولیه (تصادفی) است و N = N (t ) یک فرآیند پواسون شمارش است. ξ و N متقابل مستقل هستند.

اخیراً تعمیم های مختلفی از این فرآیند پیشنهاد شده است که با هدف کاربردهای مالی نیز انجام می شود. اول، فرآیند X را می توان به عنوان یک ناهمگن با سرعت ذرات مختلف و نرخ های مختلف تغییر رژیم تنظیم کرد، که منطقی است زیرا مورد متقارن بسیار محدود کننده است. ثانیاً، یک جزء پرش محض با پرش‌های قطعی [3] و تصادفی مستقل [4] که هنگام تغییر سرعت‌ها به فرآیند تلگراف اضافه می‌شود، رخ می‌دهد. در عین حال، شایان ذکر است که افزودن جهش‌ها نه تنها برای تطبیق بهتر مدل با بازارهای واقعی، بلکه به دلایل کاملاً روش‌شناختی نیز ضروری است زیرا مدل فرآیند تلگراف پیوسته به فرصت‌های آربیتراژ منجر می‌شود.

برای دقیق تر کردن ارائه، یک فرآیند مارکوف دو حالته ϵ = ϵ ( t ) ∈ را در نظر بگیرید.< 0 , 1 >که با نرخ های تعویض متناوب λ 0 و λ 1 کنترل می شود. فرض کنید N = N (t) یک سوئیچینگ شمارش فرآیند پواسون ناهمگن باشد. دنباله ای از متغیرهای تصادفی مستقل متقابل را در نظر بگیرید< Y n >n ≥ 1 مستقل از ε .

یک فرآیند پرش-تلگراف X (t) + J (t)، t ≥ 0، با سرعت های متناوب ثابت c 0 , c 1 و پرش های تصادفی Y n را در نظر بگیرید:

در این مقاله، ما به بررسی مدل بازار یک دارایی با دینامیک S (t) قیمت دارایی پرخطر، که از نمایی تصادفی X + J پیروی می کند، ادامه می دهیم:

این رویکرد به مدل‌سازی بازار، فرآیند وینر را در مدل کلاسیک بلک شولز با فرآیند تلگراف با جهش‌ها جایگزین می‌کند، که بهتر با دیدگاه سنتی تکامل قیمت مطابقت دارد.

این ایده اکنون به خوبی درک شده است. لازم به ذکر است که این مدل در جهات مختلف به توسعه خود ادامه می دهد، به بررسی جامع در [5] مراجعه کنید، جایی که توجه اصلی به قیمت گذاری گزینه در این مدل معطوف شده است.

توجه داشته باشید که فرمول استاندارد قیمت گذاری گزینه فراخوان ساختاری مشابه فرمول کلاسیک بلک شولز دارد. در همین حال، گزینه های عجیب و غریب بسیار کمتر مورد مطالعه قرار می گیرند. این مقاله بر روی گزینه باینری مانع پول نقد (در زمان ضربه) یا هیچ، متمرکز شده است که شامل پرداخت یک واحد سرمایه زمانی است که سطح x، از قبل ثابت شده، برای اولین بار به دست می‌آید.

2. مدل بازار و اندازه گیری تبدیل

فرض کنید ϵ = ϵ ( t ) ∈< 0 , 1 >, t ≥ 0 , یک فرآیند مارکوف با دو حالت است که در یک فضای احتمال کامل (Ω , F , P ) تعریف شده و در زمان های تصادفی سوئیچ می شود.< τ n >n ≥ 1، τ 0 = 0، با دو نرخ متناوب λ 0 و λ 1 کنترل می شود.

In this setting, a piecewise linear stochastic process X ( t ) = ∫ 0 t c ϵ ( u ) d u , t ≥ 0 , can be regarded as an asymmetric integrated telegraph process. The two pairs of parameters ( c 0 , λ 0 ) , ( c 1 , λ 1 ) , c 0 ≥ c 1 , completely determine the distribution of X ( t ) . For any t >0، توزیع X (t) روی [c 1 t، c 0 t ] با اتم ها در نقاط انتهایی پشتیبانی می شود:

P < X ( t ) ∈ d x | ϵ ( 0 ) = 0 >/ d x = λ 0 I 0 2 λ 0 λ 1 ξ 0 ( x , t ) ξ 1 ( x , t ) + λ 0 λ 1 ξ 0 ( x , t ) ξ 1 ( x , t ) 1 / 2 I 12 λ 0 λ 1 ξ 0 ( x , t ) ξ 1 ( x , t ) θ ( x , t ) , P< X ( t ) ∈ d x | ϵ ( 0 ) = 1 >/ d x = λ 1 I 0 2 λ 0 λ 1 ξ 0 ( x , t ) ξ 1 ( x , t ) + λ 0 λ 1 ξ 1 ( x , t ) ξ 0 ( x , t ) 1 / 2 I 12 λ 0 λ 1 ξ 0 ( x , t ) ξ 1 ( x , t ) θ ( x , t ) .

در اینجا ξ 0 ( x , t ) = x − c 1 t c 0 − c 1 , ξ 1 ( x , t ) = t − ξ 0 ( x , t ) , 0< ξ 0 ( x , t ) , ξ 1 ( x , t ) < t ,

در جستجوی مدلی بدون معایب ذکر شده در مقدمه، به جای فرآیند وینر که معمولاً برای مدل‌سازی بازارهای مالی مورد استفاده قرار می‌گیرد، از فرآیند تلگراف استفاده می‌کنیم. توجه داشته باشید که به سادگی جایگزین کردن فرآیند وینر با فرآیند تلگراف به این شکل منجر به فرصت‌های آربیتراژ می‌شود. این ویژگی در اولین تلاش ها برای ایجاد چنین تعمیم مدل بازار بلک شولز، که در آن یک فرآیند تلگراف یکپارچه به جای حرکت براونی استفاده شد، مورد توجه قرار نگرفت، نگاه کنید به [6،7،8]. در عین حال، این آثار پیشگام همچنان جذاب هستند. به عنوان مثال، در مقاله [7]، مقایسه های تصادفی ترتیبی فرآیندهای قیمت ارائه شد که بعداً توسعه نیافته بود. مقاله [8] به برخی مسائل بهینه سازی مربوط به یافتن زمان بهینه برای فروش سهام اختصاص دارد که نیاز به توسعه نیز دارد.

راه‌های مختلفی در ادبیات برای اجتناب از آربیتراژ پیشنهاد شده است، اما ساده‌ترین و طبیعی‌ترین راه، اضافه کردن پرش‌ها پس از هر تغییر سرعت است. در اینجا به این موضوع می پردازیم.

Consider a compound Poisson process J = J ( t ) = ∑ n = 1 N ( t ) Y n with independent random jumps of the amplitudes Y = Y n , Y n >- 1. فرض کنید که توزیع های h 0 و h 1 دامنه های پرش Y n به طور متناوب با تغییر حالت بازار ϵ = ε ( t ) تغییر می کنند.

ما یک مدل بازار متشکل از یک دارایی پرخطر با قیمت S (t)، t ≥ 0 را مطالعه می کنیم که از معادله تصادفی معمولی پیروی می کند.

با ادغام (3)، یک فرآیند پرش-تلگراف هندسی به شکل S (t) = S 0 E t X + J، t ≥ 0 داریم. در اینجا، E t ( · ) نمایی تصادفی (Doléans–Dade) است، به طوری که S (t ) = S 0 e X (t) κN (t)، که در آن κN (t) = ∏ k = 1 N (t ) ( 1 + Y n ) . برای مثال، [9] را ببینید.

برای سادگی، اجازه دهید نرخ های بهره r 0 ≥ 0 و r 1 ≥ 0 در هر وضعیت بازار ثابت باشند، به طوری که قیمت اوراق یک فرآیند تلگراف هندسی است.

فرآیند پرش-تلگراف X + J و توان تصادفی آن S (t) = E t (X + J)، t ≥ 0، مارتینگل هستند اگر و فقط اگر

در اینجا، y 0 و y 1 میانگین دامنه های پرش های مرتبط با حالت های 0 و 1 هستند.

برای مدل های (3)-(4)، یک اندازه گیری مارتینگل P~ وجود دارد اگر و فقط اگر یک جفت تابع قابل اندازه گیری مثبت φ 0 , φ 1 وجود داشته باشد به طوری که

- r 0 + c 0 + ∫ - 1 ∞ z φ 0 (z) H 0 (d z) = 0 ، - r 1 + c 1 + ∫ - 1 ∞ z φ 1 (z) h 1 (d z) = 0.

به طور خاص ، توجه داشته باشید که شرایط (5) مستلزم آن است که میانگین مقدار پرش بر خلاف جهت سرعت فعلی باشد.

گزینه ای را با بازپرداخت H = H τ که در زمان τ رخ می دهد در نظر بگیرید. پس از انتخاب Martingale P ˜ ، قیمت این گزینه توسط یک جفت داده می شود

در این مقاله ، ما روی گزینه های به اصطلاح سد باینری متمرکز شده ایم که در آن بازپرداخت H یا مقدار ثابت یا چیزی بسته به تجزیه آستانه ثابت است. یک نمای کلی از گزینه های مختلف سد باینری و روش های قیمت گذاری آنها را در [10] مشاهده کنید.

3. قیمت گذاری "پول نقد- (در ضربه)-یا گزینه باینری سد بدون هیچ چیز"

ما علاقه مند به قیمت گذاری گزینه در مورد ساده هستیم که بازپرداخت در لحظه نقض سد X دریافت می شود. به طور خاص ، اجازه دهید S 0< x .

Consider an option of getting 1 when the asset price exceeds the threshold x , i.e., the option with a payoff function H ( x ) = 𝟙 max t > 0 S ( t ) >X ، جایی که 𝟙 A نشانگر رویداد A است. فرض بر این است که بازپرداخت در زمان دریافت می شود

when the stock price S ( t ) , t >0 ، برای اولین بار به سد X می رسد. ما فرض می کنیم که نرخ بهره R کاملاً مثبت است ، زیرا برای r = 0 قیمت گزینه همیشه 1 است.

بگذارید P ˜ اندازه گیری مارتینگیل باشد. قیمت گزینه توسط یک جفت (بسته به وضعیت بازار در زمینه نوشتن) از انتظارات بازپرداخت ویراق قرضه با توجه به اندازه گیری Martingale P ˜ ، داده می شود.

توجه داشته باشید که اولین بار T (x) وقتی قیمت سهام (T) به آستانه X می رسد با اولین گذرگاه T (x ¯) از x (t) + log κ (t) از طریق آستانه x ¯ = log همزمان می شود.[x / s 0].

در ادامه ، ما اولین مشکل زمان گذر را برای لگاریتم قیمت سهام مطالعه می کنیم. برای به دست آوردن پاسخ های مدل بازار (3) و (4) ، برای تغییر نتایج به دست آمده در زیر با جایگزینی x → x ¯ = log (x / s 0) کافی است.

3. 1"بازار گاو نر" و آستانه مثبت

We consider first the model with alternating positive trends c 0 > c 1 >0 و دامنه پرش منفی. این بدان معنی است که بازار گاو نر در نقاط سوئیچ اصلاح می شود. دومی به این معنی است که توزیع های متناوب H 0 و H 1 از y n - اصلاحات به افزایش قیمت بازار

بگذارید t (x) = t (log (x / s 0) اولین زمان گذر را از طریق آستانه x ، با فرآیند پرش-تلگراف x (t) + log κ (t) مشخص کنید. از آنجا که هر دو سرعت مثبت هستند ، توجه داشته باشید کهاین فرایند با حرکت مداوم بین پرش ها ، سد X را نقض می کند.

t 0 (x) = d x c 0 𝟙< τ >x / c 0 >+ τ + t 1 (x - c 0 τ - log (1 + y)) 𝟙< τ < x / c 0 >، t 1 (x) = d x c 1 𝟙< τ >x / c 1 >+ τ + t 0 (x - c 1 τ - log (1 + y)) 𝟙< τ < x / c 1 >,

جایی که τ قبل از اولین پرش و y اولین دامنه پرش است. در اینجا ، "= D" برابری در توزیع را نشان می دهد. اگر حالت اولیه i ، من ، من توسط t i (·) اولین بار گذر می کنیم< 0 , 1 >، داده شده است.

ϕ 0 ( x ) = e − ( λ 0 + r ) x / c 0 + ∫ 0 x / c 0 λ 0 e − ( λ 0 + r ) t ∫ − 1 0 ϕ 1 ( x − c 0 t − log ( 1 + y ) ) h 0 ( d y ) d t , ϕ 1 ( x ) = e − ( λ 1 + r ) x / c 1 + ∫ 0 x / c 1 λ 1 e − ( λ 1 + r ) t ∫ − 1 0 ϕ 0 ( x − c 1 t − log ( 1 + y ) ) h 1 ( d y ) d t , x >0

Since T ( x ) → 0 a.s. for x ↓ 0 , then ϕ 0 ( 0 ) = ϕ 1 ( 0 ) = 1 . Further, since T ( x ) >x / c 0 a. s. ، سپس ϕ 0 (x) ، ϕ 1 (x) → 0 به عنوان x → +.

ϕ 0 (x) = ψ β 0 (x) + λ 0 c 0 ψ β 0 ∗ (H 0 ∗ ϕ 1) (x) ، ϕ 1 (x) = ψ β 1 (x) + λ 1 c 1 ψβ 1 ∗ (H 1 ∗ 0) (x) ، x ≥ 0 ،

H ∗ ϕ (x) = ∫ - 1 0 ϕ (x - log (1 + y)) h (d y) ، ψ β ∗ ϕ (x) = ∫ 0 x ϕ (x - y) ψ β (y) d y؛β 0 = R + λ 0 C 0 ، β 1 = R + λ 1 C 1.

ما امیدواریم که استفاده از برخی از نمادهای غیررسمی ، هنگامی که پیچیدگی هایی با توزیع پرش و با یک عملکرد به روشی مشابه مشخص شود ، باعث سوء تفاهم نمی شود.

سیستم معادله انتگرال (12) یک راه حل محدود منحصر به فرد دارد [11]. برای نوشتن این راه حل صریح ، توجه داشته باشید که ψ β ، عملکرد ویژه ای از حل با اندازه H (·) است.