آشنایی با الگو و فرمول مثلث سرپینسکی

فرض کنید دپارتمان ریاضی در کالج محلی در حال بازسازی دفاتر خود است و آنها طرح خاصی را برای کاشی کاری کف هر دفتر انتخاب می کنند که در اینجا نشان داده شده است:

این یک طراحی واقعا جالب است! در واقع آنقدر تمیز است که در ریاضیات نام خاص خود را دارد، مثلث Sierpinski. مثلث Sierpinski یک ساختار هندسی بسیار جالب است که ممکن است با استفاده از مراحل زیر ایجاد شود:

1. با یک مثلث متساوی الاضلاع، ΔABC شروع کنید و نقاط وسط هر یک از اضلاع مثلث را پیدا کنید.
2. هر یک از نقاط میانی را با یک پاره خط به هم وصل کنید و مثلثی را که ایجاد کرده اید بردارید.
3. اکنون سه مثلث متساوی الاضلاع در مثلث متساوی الاضلاع اصلی دارید. مراحل 1 و 2 را برای هر یک از این مثلث ها تکرار کنید. این روند می تواند به طور نامحدود یا تا زمانی که شما تصمیم به توقف آن بگیرید ادامه یابد.

متعجب... برای چنین شکلی منظم، مثلث Sierpinski در واقع بسیار ساده است. با این حال اجازه ندهید که شما را گول بزند! در این ساخت و ساز به ظاهر ساده الگوهای بسیار جالبی وجود دارد.

هنگام بارگیری این ویدیو خطایی روی داد.

صفحه را بازخوانی کنید یا با پشتیبانی مشتری تماس بگیرید.

برای ادامه تماشا باید یک حساب کاربری ایجاد کنید

برای مشاهده این درس ثبت نام کنید

به عنوان عضو، شما همچنین به بیش از 84000 درس ریاضی، انگلیسی، علوم، تاریخ و غیره دسترسی نامحدود خواهید داشت. به‌علاوه، آزمون‌های تمرینی، آزمون‌ها و مربی‌گری شخصی‌شده را دریافت کنید تا به موفقیت شما کمک کند.

دسترسی نامحدود به بیش از 84000 درس داشته باشید.

قبلا ثبت نام کرده اید؟برای دسترسی اینجا وارد شوید

منابع ایجاد شده توسط معلمان برای معلمان

من قطعا Study. com را به همکارانم توصیه می کنم. مثل این است که معلمی چوب جادویی را تکان داده و کار را برای من انجام داده است. من احساس می کنم این یک راه نجات است.

شما در حال چرخش هستید. به کار خوب ادامه دهید!

فقط در حال بررسی هستید. هنوز هم تماشا می کنید؟

می‌خواهید بعداً دوباره این را تماشا کنید؟

برای افزودن این درس به یک دوره سفارشی وارد شوید یا ثبت نام کنید.

الگوها

الگوهای زیادی در مثلث Sierpinski وجود دارد. برای شروع، روشی که در آن مثلث را می‌سازیم، مثلث‌های بسیار بیشتری را در داخل مثلث اصلی ایجاد می‌کند. مثلث‌های مشابه مثلث‌هایی هستند که دقیقاً همان شکل و اندازه‌های زاویه‌ای مشابه یکدیگر دارند. تنها تفاوت احتمالی آنها اندازه است.

هر بار که این مثلث های مشابه را در یک مثلث قبلی ایجاد می کنیم، مثلث های تازه ایجاد شده نه تنها شبیه مثلث اصلی هستند، بلکه هر مثلث ایجاد شده دارای محیطی برابر با 1/2 محیط مثلث قبلی و مساحتی برابر با1/4 مساحت مثلث قبلی.

الگوی جالب دیگر این است که ساختار Sierpinski یک فراکتال ایجاد می کند. فراکتال یک ساختار هندسی است که با انجام مکرر عملیات روی یک شی یا شکل بارها و بارها ایجاد می شود. در این حالت، روش تکراری حذف مثلث ایجاد شده با اتصال نقاط میانی اضلاع مثلث قبلی است.

همچنین، مثلث Sierpinski یک شکل خود مشابه است. در اصطلاح فنی، شکل خود مشابه شکلی است که شبیه به قسمت های کوچکتر خود باشد. از نظر مثلث Sierpinski، مثلث اصلی شبیه به تمام مثلث های ایجاد شده در ساخت آن است، بنابراین خود مشابه است.

همه اینها به تعریف دقیق‌تری از مثلث سیرپینسکی منجر می‌شود: این یک فراکتال خود مشابه است که از حذف مثلثی که سه نقطه میانی اضلاع یک مثلث متساوی الاضلاع را به هم متصل می‌کند، و ادامه این روند برای مثلث‌های متساوی الاضلاع حاصل در آن مثلث، حاصل می‌شود.

در نهایت، در اینجا الگویی وجود دارد که هر کسی که با مثلث پاسکال آشنایی دارد از آن استقبال خواهد کرد:

مثلث پاسکال یکی دیگر از مفاهیم ریاضی جذاب است، یک آرایه مثلثی از اعداد، و همچنین الگوهای مختلف زیادی را در خود جای داده است. همانطور که پیداست، اگر همه اعداد فرد را در مثلث پاسکال یک رنگ و اعداد زوج را رنگی دیگر رنگ کنیم، نتیجه شبیه مثلث سیرپینسکی خواهد بود.

همه این الگوهای منظم ممکن است شما را به تعجب در مورد تاریخچه مثلث Sierpinski سوق دهد. چه کسی آن را کشف کرد؟از کجا آمده؟بیایید کاوش کنیم!

تاریخ

قدمت مثلث Sierpinski به قرن سیزدهم باز می گردد. اگرچه در آن زمان این الگو به طور رسمی مثلث Sierpinski نامیده نمی شد، اما در معماری در مکان های مختلف ظاهر شد. بسیاری از آن مکان‌ها در ایتالیا بودند و شامل موزاییک‌های Cosmati در کلیسای سانتا ماریا ماگیوره می‌شوند. کشف رسمی آن تا سال 1915 اتفاق نیفتاد، زمانی که ریاضیدان لهستانی Waclaw Sierpinski به طور رسمی این مثلث، ساختار و ویژگی های آن را توصیف کرد. از آنجایی که سیرپینسکی به کشف رسمی مثلث سیرپینسکی نسبت داده می شود، این بنا به نام او نامگذاری شده است.

خلاصه درس

فراکتال یک ساختار هندسی است که با انجام مکرر عملیات روی یک شی یا شکل بارها و بارها ایجاد می شود. شکل خود مشابه شکلی است که شبیه به قسمت های کوچکتر خود باشد. مثلث Sierpinski یک فراکتال خود مشابه است که به طور رسمی توسط Waclaw Sierpinski در سال 1915 کشف شد. می توان آن را با استفاده از مراحل زیر ایجاد کرد:

1. با یک مثلث متساوی الاضلاع، ΔABC شروع کنید و نقاط وسط هر یک از اضلاع مثلث را پیدا کنید.
2. هر یک از نقاط میانی را با یک پاره خط به هم وصل کنید و مثلثی را که ایجاد کرده اید بردارید.
3. اکنون سه مثلث متساوی الاضلاع در مثلث متساوی الاضلاع اصلی دارید. مراحل 1 و 2 را برای هر یک از این مثلث ها تکرار کنید و تا زمانی که دوست دارید ادامه دهید.

مثلث Sierpinski در طراحی های امروزی و همچنین در معماری که قدمت آن به قرن سیزدهم باز می گردد رایج است.

برای باز کردن قفل این درس باید عضو Study. com باشید. حساب کاربری خود را بسازید